この数学の問題では、絶対値を含む微分方程式が提示されています。問題文では、f'(x) = |e^x – 1| を満たす微分可能な関数 f(x) と、初期条件 f(1) = e に基づいて、f(x) を求める方法を考えています。解法において重要なポイントは、場合分けの必要性と連続性を考慮することです。
1. 微分可能な関数の定義と絶対値の扱い
まず、f'(x) = |e^x – 1| という微分方程式には絶対値が含まれているため、x > 0 と x < 0 の2つの場合に分けて考える必要があります。絶対値の定義に従って、f'(x) の値がどのように変わるかを考察します。
2. 場合分け: x > 0 と x < 0 の場合
絶対値の式を場合分けして考えると、次のように微分方程式が変形します。
(i) x > 0 の場合、f'(x) = e^x – 1 となり、これを積分して f(x) = ∫(e^x – 1)dx となります。
(ii) x < 0 の場合、f'(x) = -(e^x - 1) となり、こちらも積分して f(x) = ∫(1 - e^x)dx となります。
3. 初期条件 f(1) = e の利用
初期条件 f(1) = e を用いて、定積分の定数を求めます。x = 1 のときに f(1) = e となるように積分定数を調整します。これにより、関数 f(x) が特定されます。
4. 連続性と微分可能性の確認
さらに重要なのは、x = 0 での連続性と微分可能性の確認です。x = 0 での値を一致させ、微分係数も一致させることで、関数が滑らかに接続されることを確認します。x = 0 での不連続や不微分が生じないように注意深く確認しましょう。
5. 結論とまとめ
最終的に、f(x) は関数 f'(x) = |e^x – 1| を満たすように解かれ、初期条件や連続性の確認を通じて適切な定積分定数が求められます。問題を解く際の鍵は、場合分け、積分、および連続性の確認です。
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