この問題では、座標平面上に与えられた4点A(3,0), B(3,1), C(0,1), D(2,-1)に基づいて、直線BDとx軸の交点を点Eとしたとき、四角形OCBEと三角形EBAの面積の比を求める問題です。以下では、この面積比を求めるための手順を解説します。
直線BDとx軸の交点を求める
まず、直線BDの方程式を求めます。点B(3,1)と点D(2,-1)を通る直線の傾きを求めると、(1 – (-1)) / (3 – 2) = 2となります。したがって、直線BDの方程式は、点B(3,1)を通る直線の方程式として、y – 1 = 2(x – 3) になります。これを整理すると、y = 2x – 5 となります。
点Eの座標を求める
次に、直線BDとx軸の交点を求めます。x軸上の点ではy = 0なので、直線の方程式y = 2x – 5にy = 0を代入してxを求めます。
0 = 2x – 5 → 2x = 5 → x = 5/2。したがって、点Eの座標は(5/2, 0)です。
四角形OCBEの面積を求める
四角形OCBEは、点O(0,0), C(0,1), B(3,1), E(5/2,0)から成る四角形です。この四角形の面積を求めるために、三角形の面積公式を利用します。
まず、点O, C, Bからなる三角形OBCの面積を求めます。この三角形は直角三角形で、底辺OCの長さは1、高さOBの長さは3です。したがって、三角形OBCの面積は(1×3)/2 = 1.5平方単位です。
次に、点B, E, Cからなる三角形BECの面積を求めます。三角形BECの面積は、底辺BEの長さが(5/2 – 3) = 1/2、高さが1なので、面積は(1/2 × 1)/2 = 1/4平方単位です。したがって、四角形OCBEの面積は1.5 + 1/4 = 1.75平方単位となります。
三角形EBAの面積を求める
次に、三角形EBAの面積を求めます。三角形EBAは、点E(5/2, 0), B(3, 1), A(3, 0)から成る三角形です。
三角形EBAの面積は、底辺EAの長さが(5/2 – 3) = 1/2、高さが1なので、面積は(1/2 × 1)/2 = 1/4平方単位です。
面積の比を求める
最後に、四角形OCBEと三角形EBAの面積の比を求めます。四角形OCBEの面積は1.75平方単位、三角形EBAの面積は1/4平方単位なので、面積比は1.75 / 0.25 = 7となります。
まとめ
この問題では、直線BDとx軸の交点を求め、四角形OCBEと三角形EBAの面積を計算して、それらの面積の比を求めました。最終的に、面積の比は7となります。
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