微分と連続性の関係についての解説

高校数学における微分と連続性についての関係について、よくある疑問を解説します。

微分可能性と連続性の関係

質問にある通り、通常、x=aで微分可能ならば、x=aで連続であるとされています。この関係は基本的な微分の定義に基づいています。しかし、質問では「仮にf(x)がx=aのところだけなかったらどうなるのか？」という点が指摘されています。

まず、x=aで微分可能であるためには、関数がx=aの近くで連続である必要があります。しかし、x=aで関数が定義されていない場合（例えば、f(x)がaで定義されていない）、微分可能性が成り立つことはありません。なぜなら、微分の定義において「x=aでの関数の値」を使うからです。

微分可能であれば連続である理由

微分可能性と連続性の関係を理解するために、まず微分の定義を考えてみましょう。微分可能であるということは、ある点で関数が「滑らか」であり、接線が引ける状態であるということです。このため、微分可能な関数はその点で連続している必要があります。もし、関数がその点で断絶している場合、接線を引くことができませんから、微分も定義できません。

つまり、x=aで関数が定義されていなければ、その点で微分することも不可能です。したがって、「微分可能ならば連続である」という定理は、関数がその点で定義されていることを前提としています。

関数が定義されていない場合の影響

もしf(x)がx=aの点で定義されていない場合、微分可能性を議論すること自体ができません。例えば、x=aで穴が開いている関数（定義されていない点がある関数）は、微分をするための「基盤」がないため、微分可能であるとは言えません。

このように、x=aで関数が存在しない場合、微分可能性と連続性の関係は成立しません。微分可能性の前提条件として、関数がその点で連続でなければならないという基本的な理解が必要です。

まとめ

微分可能ならば連続であるという定理は、関数がその点で定義されていることを前提としています。もし関数がx=aの点で定義されていない場合、微分可能性を議論することはできず、この関係は成立しません。関数の連続性と微分可能性の理解を深めることが、より高度な数学に進むための鍵です。