高校数学の問題で出てきた式「a^2b – a + 10ab – 25b – 10 = 0」を解く方法について解説します。この式から整数解 (a, b) の組を求める方法を、ステップバイステップで説明します。
問題の式の整理
与えられた式は、aとbが整数であるときに次のようになっています。
a^2b – a + 10ab – 25b – 10 = 0
まず、この式を整理するために、aとbに関する項をまとめます。式にはaとbが含まれており、それぞれが掛け算と足し算で繋がっています。この式を使いやすい形にするために、いくつかの項をまとめていきます。
式を因数分解する
次に、式を因数分解してみましょう。まず、aを含む項とbを含む項をそれぞれ分けてみます。
a^2b + 10ab – a – 25b – 10 = 0
aの項とbの項をグループ化してみると。
a(ab + 10b – 1) – 25b – 10 = 0
ここで、aの項が含まれている部分はab + 10b – 1です。これにより、式を整理することができました。
代入法で整数解を求める
次に、この式を解くために具体的な値を代入してみます。整数解 (a, b) を求めるためには、aとbが整数である必要があります。式を使って、特定のbの値に対してaを求めてみます。
例えば、b = 1のときに式を代入して解くと、aの値が求められます。これを繰り返し行うことで、aとbの組み合わせを求めることができます。
具体的な例：b = 1の場合
b = 1の場合、式は次のようになります。
a(1a + 10 – 1) – 25(1) – 10 = 0
a(a + 9) – 35 = 0
a^2 + 9a – 35 = 0
この二次方程式を解くと、aの値が2つの解を持つことがわかります。
a = (-9 ± √(9^2 – 4×1×(-35))) / 2×1
a = (-9 ± √481) / 2
√481は整数ではないため、b = 1の場合に整数解は得られません。
まとめ
このように、与えられた式「a^2b – a + 10ab – 25b – 10 = 0」を解くためには、まず式を整理して、代入法や因数分解を試みる必要があります。整数解を求めるためには、具体的に値を代入して計算し、その結果が整数になる組み合わせを見つけることが重要です。
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