f(z)のn次導関数と積分公式の導出方法 | 正則関数とその性質

この問題では、関数 f(z) が |z| < R で正則であり、u(z) = Re(f(z)) のとき、次の式を示す方法について解説します。

f^(n)(0) = n! / (π r^n) ∫[0, 2π] u(r e^(iθ)) e^(-inθ) dθ （ただし、0 < r < R, n ≥ 1）

正則関数とその性質

まず、f(z) が正則であることから、f(z) は複素平面内で微分可能であり、Cauchy-Riemann 方程式を満たします。また、f(z) の実部 u(z) は、与えられた範囲内で連続的に微分可能であり、この性質を利用して積分を行います。

次に、f(z) の n 次導関数を求める方法について見ていきます。f(z) が正則であるため、これをCauchy積分公式に基づいて計算できます。

一般的な導関数の公式は以下のように表されます。

f^(n)(0) = n! / (2πi) ∮(C) f(z) / z^(n+1) dz

式 f^(n)(0) = n! / (π r^n) ∫[0, 2π] u(r e^(iθ)) e^(-inθ) dθ を得るためには、u(z) の定義と、複素数積分の基本的な理論を利用します。実際に、f(z) の n 次導関数は、次のように考えられます。

u(r e^(iθ)) = Re(f(r e^(iθ)))

この式を用いて積分を行うことで、最終的に式が導かれます。

この問題は、正則関数の性質を利用した積分公式を導出するものです。f(z) の n 次導関数を求めるために、Cauchy-Riemann 方程式や複素数積分の理論を用いて計算します。正則関数の積分公式に関する深い理解が、この問題の解法に役立ちます。