高校数学の問題でつまずくことがよくあるのが、数列の変形や分数分解です。特に、与えられた式を適切に変形したり、部分分数に分ける方法を理解することは、数学を解く上で非常に重要です。この記事では、質問者が挙げた3つの問題に対して、具体的な解法をステップバイステップで解説します。
① Snの式を変形する方法
最初の式、Sn=9/4{1-(1/3)^n}-3/2n(1/3)^n から、Sn=9/4-(2n+3)/4×(1/3)^(n-1)への変形について説明します。
まず、元の式は分数が絡んだ複雑な形です。これを変形するためには、項ごとに分けて処理します。
- -3/2n(1/3)^n の項を処理します。
詳細な計算手順としては、まずは乗法と累乗の法則を使って、それぞれの項をまとめ、計算をシンプルにすることが必要です。最終的に、式が簡単に変形でき、Sn=9/4-(2n+3)/4×(1/3)^(n-1) の形になります。
② 分数分解の方法
次に、1/(2k-1)(2k+1)=1/2{1/(2k-1)-1/(2k+1)} の分数分解の方法を解説します。この部分分数分解は、複雑に見えますが、基本的な分数分解の手法に従って進めます。
分数の分解は、分母の因数分解を使って、部分分数に分けることで解けます。まず、1/(2k-1)(2k+1) の式を分解し、それぞれの項を個別に処理する方法を取ります。その後、1/2 を掛けることで、目的の形に変形されます。
③ シリーズの合計を求める方法
最後に、1/2{(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+(1/2n-1-1/2n+1)}=1/2(1-1/2n+1} という式を解く方法について説明します。
この式は、分数の形で与えられた数列の和を求める問題です。シリーズの各項が分解されているので、それぞれの項を個別に考え、最終的に求められる合計の形にすることができます。具体的には、項ごとに整理して、式の左辺が右辺の形に変形できることを確認します。
まとめ: 数学の問題を解くためのステップ
数学の問題を解く際には、式の変形や分数分解、数列の和を求める方法をしっかり理解することが重要です。解法のステップを段階的に踏んでいくことで、複雑な式も解けるようになります。理解を深めるためには、実際に手を動かして問題を解くことが最も効果的です。
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