f(z)の積分公式の導出と正則関数の性質 | 複素解析の基礎

この問題では、複素関数 f(z) が |z| <= 1 の範囲で正則であるとき、次の積分公式を示す方法について解説します。

f(z) = f(0)/2 + 1/4π ∫[0, 2π] f(e^iθ) (e^iθ + z) / (e^iθ - z) dθ

正則関数とCauchy積分公式

まず、f(z) が正則であるということは、複素平面内の |z| <= 1 の範囲で微分可能であることを意味します。この性質を利用して、f(z) の積分公式を導くことができます。特に、正則関数におけるCauchy積分公式が重要な役割を果たします。

この式は、複素数の積分を利用して f(z) の値を求める方法です。f(z) が正則であることから、Cauchy積分公式を用いて以下の式が成り立ちます。

f(z) = 1/2πi ∮_C f(w) / (w - z) dw

ここで、C は閉じた曲線であり、これを用いることで、問題の式を求めることができます。

次に、式の右辺を計算します。積分区間は θ = 0 から 2π までの範囲です。この積分を実行することで、最終的に f(z) の値が求められます。ここでは、e^iθ を利用して複素指数関数に関する性質を活用します。

この問題を解くには、正則関数の性質とCauchy積分公式を理解し、積分式を適切に評価することが求められます。これにより、与えられた式を導くことができます。複素解析の基本的な理論を適用することで、積分公式を簡潔に導出することが可能です。