点P(X,Y)の軌跡を求める問題で、パラメータ消去を用いた結果や「Y＝mX」形式に変換して求めた結果に違いが出て困っている方も多いかもしれません。本記事では、パラメータ消去の方法を適切に行い、Xの範囲に対するYの値域を求める方法を詳しく解説します。誤解を解き、正しいアプローチを理解するためのポイントを押さえましょう。
パラメータ消去とその意味
パラメータ消去は、2つの変数がパラメータmに依存している場合に、それを取り除いてXとYの関係を直接的に求める手法です。問題で示されたX＝4/m^2+1とY＝4m/m^2+1という式において、mを消去することでXとYの関係式を求めることができます。この方法では、mに関する式を両方の式に代入し、最終的にY＝±√{x(4-x)}という軌跡を得ることができます。
この方法が正しい理由は、mがXとYの間に共通のパラメータとして作用しているからです。この過程で重要なのは、mの範囲や関係式を正しく把握することです。パラメータ消去によって、xとyの間の明確な関係を導けるため、正しい軌跡を求めることができます。
Y＝mXでYの値域を求める方法
次に、Y＝mXという関係式を使ってYの値域を調べる方法に関してですが、このアプローチでは、Xの範囲に対してmの値がどのように変化するかを調べることが重要です。ここで注意すべき点は、mがXに依存しているため、Xを決めた後にmを動かしてもYがすぐに固定されるわけではない点です。
問題の式でmが-1/√3 < m < 1/√3 の範囲を満たすとき、Y＝mXにおいて、Xが与えられるとmの値が決まり、その範囲内でYがどのように変化するかを考察する必要があります。この結果、-x/√3 < y < x/√3 という式が得られますが、この式には誤解が含まれていることがわかります。Y＝mXという式においてmがXに依存しているため、値域が完全に限定されることはなく、結果として領域が決まらないのです。
誤解が生じた理由と正しいアプローチ
問題における誤解の原因は、Y＝mXという関係式を使った場合に、mの範囲をXの範囲に基づいて正しく設定していなかったことにあります。実際には、Xを固定してmを動かすとYの値域は確定しない場合が多く、定まった範囲には収束しません。この点を理解することで、パラメータ消去による軌跡とY＝mXに基づいたアプローチの違いをクリアにすることができます。
したがって、正しいアプローチは、まずパラメータ消去を使ってXとYの関係を明確にし、その後でXの範囲に応じたYの値域を求めることです。Y＝mXという形に依存してしまうと、誤った式が得られる可能性が高いので注意が必要です。
まとめ
点P(X,Y)の軌跡を求める際にパラメータ消去を適切に行うことが重要です。XとYの関係を明確に導くために、パラメータmの影響を正確に取り除くことで、求めるべき軌跡を得ることができます。一方、Y＝mXという形に依存すると、誤った範囲が得られやすくなります。正しいアプローチを使って、問題を解くことが大切です。
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