この問題は、空間ベクトルの基本的な性質を理解するために非常に重要です。問題では、点O、A、B、Cが与えられ、Oから平面ABCに垂直に下ろした垂線の交点Hを求めることが求められています。ここでは、ベクトルの直交性と平面上のベクトルの関係を利用して解法を示します。
問題の設定
問題で与えられている点は、O(0, 0, 0)、A(0, 0, 1)、B(2, 0, 0)、C(0, 2, 0)です。Oから平面ABCに垂線を下ろした時の交点Hを求めるために、ベクトルAH + sベクトルAB + tベクトルAC の形でおき、sとtを求める方法を考えます。
ベクトルAHの定義
まず、Oから平面ABCへの垂線の交点Hを求めるために、ベクトルAHを定義します。ベクトルAHは、OH – OA であることに注意してください。このとき、ベクトルOHは平面ABC内にある点を通るため、ベクトルABとベクトルACを用いて表すことができます。
ベクトルの直交性の利用
次に、問題のヒントにある「ABC⊥OH」を利用します。これは、平面ABCとベクトルOHが直交することを意味します。したがって、ベクトルABとベクトルACの線形結合で表されるベクトルOHは、平面ABC内の点であり、その直交性を考慮してベクトルの係数sとtを求めることができます。
解法とs, tの値の求め方
ベクトルの直交性を用いて式を立て、sとtの値を求めることで、交点Hを求めることができます。最終的に、与えられた式を解くことでsとtを算出し、点Hの位置を確定させることができます。
まとめ
この問題では、空間ベクトルの直交性と平面上のベクトルの線形結合を用いて、Oから平面ABCへの垂線の交点Hを求める方法を解説しました。問題におけるベクトルの直交性の関係を理解することが、解法の鍵となります。
コメント