a² = a + 3 の解とその範囲について

この問題は、方程式 a² = a + 3 の解について、与えられた条件に基づいて解く問題です。具体的に、解がどのように導かれ、なぜ a が 2 ≦ a < 5/2 となるのかを解説します。

1. 方程式 a² = a + 3 の解を求める

まず、方程式 a² = a + 3 を解くために、両辺を移項して標準的な2次方程式にします。これにより、a² – a – 3 = 0 という方程式になります。

この2次方程式は、解の公式を使って解くことができます。解の公式は次の通りです：
a = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a = 1, b = -1, c = -3 となります。

解の公式に値を代入すると、次のようになります。

a = (-(-1) ± √((-1)² – 4(1)(-3))) / (2(1))
a = (1 ± √(1 + 12)) / 2
a = (1 ± √13) / 2

したがって、a の解は次の2つです：
a₁ = (1 + √13) / 2 ≈ 2.30
a₂ = (1 – √13) / 2 ≈ -1.30

問題では「a は正の数」とされていますので、a₂ ≈ -1.30 は不適切な解となり、a₁ = (1 + √13) / 2 のみが有効な解となります。この値はおおよそ 2.30 です。

したがって、a の範囲は 2 ≦ a < 5/2 となります。なぜなら、a = (1 + √13) / 2 は 2 より大きく、かつ 5/2 より小さいからです。

「a² = a + 3」の解から得られる範囲は、a が正の数であるという条件を満たすものとして 2 ≦ a < 5/2 となります。この範囲は、解の公式によって導かれた具体的な数値に基づいています。

問題の条件により、他の解（負の数）は排除され、正の解だけが有効となります。

「a² = a + 3」の方程式を解くと、a の範囲は 2 ≦ a < 5/2 という条件に収束します。これは、解の公式を使って得られた結果から導かれ、問題に与えられた条件に適した解です。