東京都立大学 2023年数学過去問解説: 線分PSの中点Tの座標を求める方法と注意点

東京都立大学の2023年数学の過去問で、線分PSの中点Tの座標を求める問題があります。問題文に記載された条件に従って解いたところ、誤った結果を得てしまったという質問をよく見かけます。この問題を正しく解くための方法と、間違いが起きる原因について詳しく解説します。

問題の理解: 中点Tの条件

まず、問題の中で与えられている条件を整理しましょう。線分PSの中点をT(a, b, c)とし、次の2つの条件が与えられています。

この2つの条件を使って、Tの座標a, b, cを求めることが求められています。

最初の条件では、点Tが平面α上にあることが示されています。この条件により、ATベクトルがsABベクトル + tACベクトルという形で表現できることが分かります。ここで重要なのは、sとtが実数であるということです。実数としてsとtを選ぶことで、平面α上の任意の点Tを表現できることを意味しています。

ここで注意しなければならないのは、ATベクトルがABベクトルとACベクトルの線形結合として表されることです。この操作を理解することが、次に進むための鍵となります。

次に与えられた条件は、PTベクトルとABベクトル、そしてPTベクトルとACベクトルがそれぞれ垂直であるというものです。この直交条件を使うことで、Tの座標を求めるための方程式を立てることができます。

具体的には、ベクトルPTとAB、PTとACが直交するためには、内積が0である必要があります。したがって、次の2つの式が得られます。

これにより、a, b, cに関する連立方程式が得られます。

問題を解く際、特に重要なのは連立方程式の扱いです。間違いが起きやすいのは、この連立方程式を解く過程で、ベクトルの成分を適切に計算しない場合です。特に、係数や変数を入れ替える際に計算ミスが発生することがあります。

例えば、Tの座標を求める際に、平面上の座標の関係を正しく扱わないと、誤った結果（例えば (2/3, 2/3, 0)）を得る可能性があります。この問題においては、Tの座標を求めるために使うべき正しい式をしっかりと把握することが大切です。

東京都立大学の2023年の数学の過去問では、線分PSの中点Tの座標を求める問題で、与えられた条件に従って解くことが求められています。重要なのは、ATベクトルを線形結合として表現し、PTベクトルとAB、ACベクトルの直交条件を使って連立方程式を解くことです。

問題を解く際に、計算過程でのミスを避けるためには、ベクトルの内積や座標の変換を慎重に行うことが必要です。正しい解法を理解し、再度問題を解く際に同じ誤りを繰り返さないようにしましょう。