y=x^3+ax+bがy=2x-2、y=2x+2に接するaとbを求める方法

今回の問題では、関数 y = x^3 + ax + b が、直線 y = 2x – 2 および y = 2x + 2 に接する条件を満たす a と b の値を求めます。この問題を解くためには、接するとはどういう意味かを理解し、微分を使って接点を求める方法を取ります。

接点の条件と接する意味

接するというのは、曲線と直線が交わる点で、曲線の傾き（導関数）が直線の傾きと一致することを意味します。つまり、y = x^3 + ax + b と y = 2x – 2 の交点では、xの値においてそれぞれの導関数（微分係数）が等しくなる必要があります。これと同様に、y = x^3 + ax + b と y = 2x + 2 の交点でも同じ条件が適用されます。

1つ目の直線との接点を求める

まず、y = 2x – 2 の直線に接する条件を求めます。まずは、y = x^3 + ax + b を微分して傾きを求めます。

y’ = 3x^2 + a

y = 2x – 2 の傾きは 2 なので、接点では y’ = 2 となります。よって、接点の x の値を求めるために、次の式を解きます。

3x^2 + a = 2

この式と、y = x^3 + ax + b が交わるための条件を組み合わせることで、a と b の関係が導き出されます。

2つ目の直線との接点を求める

次に、y = 2x + 2 の直線に接する条件も同様に求めます。やはり微分を使い、接点の x の値を求め、a と b を求める式を解きます。

解法と最終的なaとbの値

最終的には、y = x^3 + ax + b が y = 2x – 2 と y = 2x + 2 に接するために必要な a と b の値を求めるために、連立方程式を解く必要があります。この解法によって、a と b の具体的な値が求まります。

まとめ

この問題を解くためには、接点の条件として微分を用いて、直線との傾きが一致する点を求め、そこから a と b を求めることが必要です。具体的な計算を行うことで、最終的に a と b の値が求められます。