この質問では、x² – 4 > 0 という不等式を解く際に出てくる「よって」の理由についての理解を深めることが目的です。ここでは、式を因数分解して解く方法と、それに基づく解法のステップを解説します。
x² – 4 > 0 の因数分解
まず最初に、x² – 4 を因数分解します。x² – 4 は、(x + 2)(x – 2) に分解できます。これにより、元の不等式は次のように書き換えられます。
(x + 2)(x – 2) > 0
因数分解後の不等式の解法
次に、この式を解くためには、2つの因子 (x + 2) と (x – 2) の積が0より大きい時の条件を求めます。積が正となるためには、次の2つの条件が必要です。
- 両方の因子が正である（x + 2 > 0, x – 2 > 0）
- 両方の因子が負である（x + 2 < 0, x - 2 < 0）
これらの条件を満たす場合を順番に考えてみます。
条件1: 両方の因子が正
この場合、x + 2 > 0 かつ x – 2 > 0 という条件です。これを解くと、x > -2 かつ x > 2 となり、x > 2 という解が得られます。
条件2: 両方の因子が負
次に、x + 2 < 0 かつ x - 2 < 0 という条件を解きます。これを解くと、x < -2 かつ x < 2 となり、x < -2 という解が得られます。
「よって」の理由
このように、x > 2 または x < -2 のいずれかが成り立つとき、(x + 2)(x - 2) > 0 となります。つまり、x の値が -2 より小さいか 2 より大きいときに、不等式が成立します。このため、「x < -2 または 2 < x」という解が得られ、質問文中の「よって」の部分はこの理由に基づいています。
まとめ
x² – 4 > 0 の解法は、式を因数分解して (x + 2)(x – 2) > 0 の形にすることで、x の範囲を x < -2 または x > 2 と求めることができます。この解法は不等式を2つの条件に分けて解く方法であり、数学の基本的な操作です。
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