数学の問題で、比が与えられた場合に特定の条件を満たす自然数を求めることがあります。今回は、a:b = 3:4 という比から、√a + b が自然数になるaの値を求める問題について解説します。解法を順を追って説明し、どのようにして答えが導かれるのかを見ていきましょう。
問題の理解
問題では、a:b = 3:4 という比が与えられています。この比から、aとbは自然数で、aがbの3/4の関係にあることがわかります。そして、√a + b が自然数になるようなaのうち、二桁のものを求めるという問題です。
具体的には、aとbは次のように表すことができます。
a = 3k
b = 4k
√a + b が自然数になる条件
次に、√a + b が自然数になるための条件を考えます。aとbが上記のように表されるので、√a + b は次のように表せます。
√a + b = √(3k) + 4k
これが自然数になるためには、√(3k) が整数である必要があります。つまり、3k が完全な平方数である必要があるのです。そこで、k の値を変えて、3k が平方数になるような k を探します。
k の値を求める
3k が平方数になるための条件を満たす k を探します。まず、3k が平方数であるためには、k が3の倍数でなければならないことがわかります。したがって、k = 3m と置くことができます。
k = 3m とすると、a と b は次のように表されます。
a = 3(3m) = 9m
b = 4(3m) = 12m
ここで、aが二桁になる条件を考えます。a = 9m が二桁であるためには、m = 2 または m = 9 という値が得られます。
二桁のaを求める
m = 2 のとき、a = 9 × 2 = 18 となり、m = 9 のとき、a = 9 × 9 = 81 となります。これらのaの値に対応するbは、それぞれb = 12 × 2 = 24 と b = 12 × 9 = 108 です。
それぞれの場合に対して、√a + b が自然数かどうかを確認します。
m = 2 の場合、√18 + 24 は整数ではないので、m = 2 は不適切です。
m = 9 の場合、√81 + 108 = 9 + 108 = 117 は自然数です。したがって、a = 81 の場合が正しい解となります。
まとめ
a:b = 3:4 の比で、√a + b が自然数になるaの値を求める問題では、aが9mの形で表されることがわかり、m = 9 のとき、a = 81 が正しい答えです。このように、比や平方数の条件を利用して、問題を解くことができます。
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