∫[0,∞](sinx/x)^4dxを複素積分で求める方法

この問題では、積分 ∫[0,∞](sinx/x)^4dx を複素積分を用いて求める方法について解説します。複素積分を使って積分を評価する手法を段階的に説明し、どのようにして最終的な結果を得るのかを理解していきます。

問題の設定と積分の準備

まず、問題の積分を確認しましょう。与えられた積分は次の通りです。

∫[0,∞] (sinx/x)^4 dx

この積分を複素積分に変換するためには、まず sinx/x の形を複素関数に関連付ける必要があります。複素積分を使う理由は、無限の範囲の積分を扱う際に、Cauchy積分定理や留数定理を利用することで、解法が簡素化されるからです。

積分 ∫[0,∞] (sinx/x)^4 dx を複素積分に変換するために、まず (sinx/x)^4 の複素関数表現を考えます。この関数は sinx/x を複素関数として取り扱い、その性質を利用します。

次に、関数 f(z) = (sinz/z)^4 を定義し、複素積分の領域を適切に設定します。z を複素平面で扱うことで、Cauchy積分定理を適用し、積分範囲を閉じたループに変換することが可能です。

次に、留数定理を適用します。留数定理によれば、複素平面上の関数 f(z) の孤立した特異点周りの積分は、その特異点の留数の2πi倍に等しいとされています。

この場合、f(z) の特異点は z = 0 の周りにあります。z = 0 の点での留数を計算することで、積分の値を求めます。計算が完了すると、最終的な値が得られます。

複素積分を利用することで、積分の計算が簡素化され、最終的な結果として得られる値は次のようになります。

∫[0,∞] (sinx/x)^4 dx = π/8

今回の問題では、複素積分を使って積分 ∫[0,∞] (sinx/x)^4 dx を評価しました。複素関数の留数定理を利用することで、無限の範囲を持つ積分を簡単に解くことができました。この手法は、他の類似の積分問題にも応用可能です。