数学の問題では、式を展開したり、場合分けを行って解を導くことがよくあります。今回の問題は、与えられた式の条件に基づいてkの値を求める問題です。この記事では、問題文の解法の過程をわかりやすく解説します。
問題の設定と式の整理
問題では次の条件が与えられています。
- (2a + b) / 3c = (2b + c) / 3a = (2c + a) / 3b = k (kは実数)
この条件を式に表すと、次のような3つの式を得ることができます。
- 2a + b = 3kc・・・(①)
- 2b + c = 3ka・・・(②)
- 2c + a = 3kb・・・(③)
これらの式を使ってkの値を求めていきます。
式を加えることで新しい情報を得る
次に、式(①)、(②)、(③)を全て足し合わせます。これにより、次のような式が得られます。
3(a + b + c) = 3k(a + b + c)
この式から、a + b + c ≠ 0のときはk = 1であることがわかります。
a + b + c = 0のケース
次に、a + b + c = 0のケースを考えます。この場合、式から次のような関係が得られます。
- b = (3k + 1)a
- c = -(3k + 2)a
これらの式を(①)に代入すると、次の式が得られます。
(3k + 3)a = -3k(3k + 2)a
ここでa ≠ 0なので、次の式が得られます。
k + 1 = -3k² – 2k
この式を解いても、実数kに対して解が存在しないことがわかります。したがって、a + b + c = 0の場合は解が存在しないという結論に至ります。
kの値を求める
最終的に、a + b + c ≠ 0の場合、k = 1が唯一の解となります。a + b + c = 0の場合は解が存在しないため、この条件は不適となります。
まとめ
この問題では、与えられた式を整理し、場合分けを行うことでkの値を求めました。a + b + c ≠ 0の場合はk = 1、a + b + c = 0の場合は解が存在しないという結果が得られました。式の展開や場合分けをしっかりと理解して問題を解くことが大切です。
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