この問題では、n枚のカードから3枚を取り出し、その順位を付けたときの確率について考えます。特に、順位2のカードがある特定の番号kとなる確率を求める問題と、どの番号kでその確率が最大になるかを求めます。
問題の概要
n枚のカードから3枚を取り出し、順位をつけるという設定です。問題は、順位2のカードが番号kである確率を求めるものです。
（1）順位2のカードの番号がkである確率
順位2のカードの番号がkである確率を求めるために、まずどのように3枚のカードを選ぶかを考えます。1からnまでの番号が付けられたn枚のカードから3枚を選ぶ方法は、C(n, 3)通りです。この中で、順位2のカードがkである場合は、kより小さい番号から1枚、kより大きい番号から1枚を選びます。これにより、必要なカードの組み合わせが求められます。
したがって、順位2のカードがkである確率は、C(k-1, 1) × C(n-k, 1) / C(n, 3)となります。
（2）確率が最大となる番号k
次に、順位2のカードの番号kで確率が最大となるkを求めます。この場合、確率が最大になるkは、kがn/2に近い値であることが分かります。実際に、kが小さすぎるとkより大きい番号を選ぶ選択肢が減り、逆にkが大きすぎるとkより小さい番号を選ぶ選択肢が減るため、確率は最もバランスが取れるkで最大になります。
まとめ
この問題では、順位2のカードがkである確率を計算し、どのkでその確率が最大になるかを求めました。確率はkがn/2に近い値で最大になり、この方法で確率を求めることができました。
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