積分の計算方法：∫[0,∞] dx / (√x(x+1)^2) dx の解法

今回は積分 ∫[0,∞] dx / (√x(x+1)^2) dx の解法について解説します。この積分は有理関数の積分であり、積分のテクニックを駆使すれば解けます。まず、与えられた積分式を確認しましょう。

積分式の確認

与えられた積分は次のようになっています。

∫[0,∞] dx / (√x(x+1)^2)

この式を解くためには、分母を簡単に扱える形に変形することが重要です。

まず分母の√xを扱いやすい形に変形します。√x = x^(1/2) として、積分式は次のようになります。

∫[0,∞] x^(-1/2) / ((x+1)^2) dx

このように変形した積分式に対して、適切な部分積分や置換積分を用いることで解答を進めます。

この積分を解くために、部分分数分解や適切な置換積分を行います。例えば、x = tan^2(θ) のような置換を考えることで、積分式を簡単に扱える形に変換できます。具体的には、x + 1 の項を関数に変換して積分を進めることができます。

積分を進めると、最終的に解が得られます。解を求める過程では、積分範囲が[0,∞]であるため、収束の確認が重要です。適切な変数変換や積分範囲の評価によって、積分の値が求められます。

今回の積分問題は、変数変換や部分分数分解をうまく使うことで解けます。特に、分母の形を工夫することが解法の鍵です。積分の計算では、まず式を簡単に整理することが重要で、次に解法のテクニックを適用することで、積分を求めることができます。