積分問題の解法：∫[0,∞]x^a/(x^2+2xcosθ+1)dx の計算方法

今回の積分問題は、関数の形が少し複雑ですが、積分の基本的なテクニックを駆使すれば解くことができます。この問題では、積分範囲が[0,∞]で、積分する関数にx^a/(x^2 + 2x cosθ + 1)の形が含まれています。

問題の理解と式の確認

積分式は以下のように与えられています。

∫[0,∞] x^a / (x^2 + 2x cosθ + 1) dx (0 < a < 1, |θ| < π)

ここで、x^aという項と分母にx^2 + 2x cosθ + 1が含まれています。まず、分母の形に注目しましょう。これは2次式であり、平方完成などを使うと整理しやすくなります。

この積分問題を解くために、まず分母の平方完成を行います。

x^2 + 2x cosθ + 1 = (x + cosθ)^2 + sin^2θ

この式により、積分がより簡単に扱えるようになります。次に、積分における変数変換を検討し、適切な解法を選びます。

次に、x + cosθの項を新たな変数yとして置き換えることが有効です。このように変数を変換することで、積分がより簡単な形になります。変数変換により、積分の範囲や形式が簡潔になり、具体的な積分値を求めることができます。

計算を続けると、最終的には定積分として評価でき、積分の解答にたどり着きます。

この積分問題を解くためには、まず分母の整理を行い、平方完成をしてから変数変換を行うことで、積分が解きやすくなります。特に、変数変換は積分の範囲や形式をシンプルにするための有効なテクニックです。

最後に、積分問題を解く際には、問題を分解して扱いやすい形に変形することが重要であり、複雑に見える問題も適切な方法で解決できます。