1, 2, 3, 4を使ってできる4桁の整数すべての和の求め方

1, 2, 3, 4の数字を使って作れる4桁の整数すべての和を求める問題です。この問題を解くためには、まずすべての可能な4桁の数を考え、その後、数学的に効率的な方法で和を求めます。この記事では、この問題をどのように解くか、段階的に解説します。

問題の設定と理解

与えられた数字1, 2, 3, 4を使って、すべての4桁の整数を作り、その合計を求めます。最小値は1234、最大値は4321です。この4桁の整数の組み合わせは、順列を使って求めることができます。ここでは、その合計をどう求めるかに焦点を当てます。

まず、4つの数字1, 2, 3, 4を使って作れる4桁の整数の個数を求めます。これは単純に4つの数字の順列なので、4! = 24個です。

これらの24個の数の和を直接求める方法もありますが、もっと効率的な方法を考えます。まず、各桁における数字の出現頻度を調べます。4つの数字から1つを選び、その位置に配置する方法は、24個の整数すべてで均等に分かれます。

例えば、1が千の位、百の位、十の位、または一の位に現れる頻度は、すべての数字に対して同じであり、各位置に現れる頻度は6回です。このように、各桁の数字が6回ずつ現れることがわかります。

次に、これらの頻度を使って、4桁の整数の和を求めます。千の位、百の位、十の位、一の位それぞれで、1, 2, 3, 4がそれぞれ6回現れます。したがって、各桁での合計は次のように求められます。

これらをすべて足し合わせると、合計は次のようになります。

60000 + 6000 + 600 + 60 = 66660

先程の計算により、すべての4桁の整数の和は66660です。ただし、この和を求めるためには、各桁の数字が均等に分布していることを利用した数学的アプローチが有効です。この方法を使うことで、すべての数字を列挙することなく、効率的に答えを求めることができました。

1, 2, 3, 4を使ってできるすべての4桁の整数の和は、効率的な計算方法を用いることで、66660という答えを得ることができます。このアプローチでは、各桁に現れる数字の頻度を利用して計算を行うことで、全ての整数を直接求めることなく合計を求めることができました。