無理数の足し算の証明：√2 + √3が無理数である理由をわかりやすく解説

中学校の数学の課題として、「√2 + √3が無理数であることを証明する」という問題があります。この問題を解くためには、無理数の基本的な性質を理解し、証明の方法を知っておくことが大切です。この記事では、この課題を解くための考え方と証明の手順をわかりやすく解説します。

無理数とは？

無理数とは、有理数で表せない実数のことです。有理数は、整数の比で表せる数（例えば1/2や-3/4など）ですが、無理数はそのように分数で表せません。例えば、√2やπ（パイ）などは無理数として知られています。

√2は、1.41421356…という無限に続く小数で表されます。これは分数で表すことができないため、無理数とされます。同じように、√3も無理数です。

ここでの問題は、√2と√3を足すとその結果が無理数であることを証明することです。まず、この問題を解くために、もし√2 + √3が有理数だと仮定してみましょう。

仮に、√2 + √3 = r（rは有理数）としましょう。もしこれが有理数であれば、√2と√3が有理数であることが前提になります。しかし、√2と√3はどちらも無理数であるため、2つの無理数の足し算が有理数になることはありません。

まず、√2と√3が無理数であることを確認し、次にそれらを足した結果が無理数であることを証明するために、論理的に逆説的な証明を行います。仮に、√2 + √3が有理数だとすると、それに矛盾が生じます。したがって、√2 + √3は無理数であると結論できます。

証明のステップとしては以下の通りです。

無理数同士の足し算が無理数になる理由を理解することは、数学の深さを感じることができる面白い経験です。無理数は私たちが日常的に使う数とは異なり、無限に続く小数や、分数では表せない不思議な性質を持っています。

数学の問題を解くことで、数や数の性質について新たな発見をすることができ、理解が深まります。この証明も、無理数の本質を理解する良いきっかけとなるでしょう。

「√2 + √3が無理数であることを証明する」という問題を解くためには、無理数の定義を理解し、それに基づいた証明を行うことが大切です。無理数同士の足し算が無理数である理由を証明することで、数学の面白さを実感することができます。数学の基礎をしっかりと押さえ、理解を深めていきましょう。