2次関数の問題において、特に不等式を解く際に直面する問題の一つは、「kは定数、x≧0ならば常に4x^3+1≧kxとなるkの範囲を求めよ」というものです。このような問題を解くためには、どのようにアプローチするべきかを理解することが重要です。この記事では、問題の解法を段階的に説明し、あなたの疑問を解消します。
問題の解説とアプローチ
この問題では、与えられた不等式「4x^3 + 1 ≧ kx」について、x ≧ 0の範囲で成り立つkの範囲を求めます。まず、この不等式の右辺と左辺を比較するために、関数f(x) = 4x^3 + 1 – kxを導入し、x ≧ 0でf(x)の最小値を求めることでkの範囲を求めます。
関数f(x) = 4x^3 – kx + 1を考え、この関数の最小値を求めることがカギとなります。最小値が0以上であるためには、f(x)の微分を使って極値を求める方法が有効です。
f'(x)を使った最小値の求め方
まず、関数f(x) = 4x^3 – kx + 1の微分を求めます。微分した結果は、f'(x) = 12x^2 – kとなります。この微分を0に等しいとおいて、f'(x) = 0を解くと、xが0またはxが√(k/12)となります。
x ≧ 0の範囲では、この2つの解が考えられますが、重要なのはf(x)の最小値を求めることで、kの範囲を決定することです。kの値によって、関数が下に凸であるかどうかが変わるため、kの値が0以上かどうかを確認する必要があります。
k > 0とk ≤ 0の分け方
解答の中でk > 0とk ≤ 0に分ける理由は、関数f(x)がどのように振る舞うかに関係しています。k > 0の場合、f(x)の最小値はx = √(k/12)で、最小値が0以上であれば不等式が成り立つことがわかります。一方、k ≤ 0の場合、f(x)の最小値はx = 0であり、kの値に応じて最小値が変動します。
この場合、k = 0ではf(x)が定義できないため、k > 0とk ≤ 0の区別が重要になります。k ≤ 0の場合、f(x)の最小値を計算すると不等式が成り立たないことが分かります。
結論：kの範囲
最終的に、kの範囲はk > 0であることが確認されます。k ≤ 0の場合には、最小値が0を下回るため不等式が成り立ちません。このように、k > 0の範囲で不等式が常に成り立つことが示されます。
この問題を通じて、微分や極値を求める方法、また関数の振る舞いを分析する重要性を理解することができます。次回、同様の問題に直面した際には、これらの手法を活用して解答を導くことができるでしょう。
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