部分分数分解における分母の次数とその理由

部分分数分解では、分母が3次式以上の分数を分解する際、分母が二次式以上になる場合に、分子を分母より1小さい次数として置くことがあります。この方法には、数学的な理由があり、計算を簡単にするための基本的なテクニックです。この記事では、その理由と背景について解説します。

部分分数分解とは？

部分分数分解とは、複雑な分数の式をより単純な形に分解する方法です。特に、分母が多項式の場合、部分分数分解を使うことで積分や他の計算が容易になります。この方法は、分母が因数分解できる多項式であれば有効です。

例えば、次のような式が与えられたとします。

f(x) = rac{1}{(x-1)(x+2)}

この式を部分分数に分解することで、計算が簡単になります。

部分分数分解を行う際、分母が2次式や3次式になる場合、分子の次数はそれぞれ1つ小さい次数になります。これは、分母の次数と分子の次数が一致すると、分数式が無限に大きくなったり、計算ができなくなったりするからです。

例えば、分母が3次式の場合、分子が3次式だと、同じ次数で計算するのは非常に困難です。そこで、分子を分母より1つ小さな次数に設定することで、計算を簡略化し、部分分数分解が実行可能になります。

例えば、次の式を考えてみましょう。

rac{1}{(x^2+1)(x-2)}

ここで、分母は2次式と1次式の積です。この式を部分分数分解すると、分子は1次式になります。なぜなら、分母が2次式で、分子の次数が同じだと計算が複雑になるからです。

そのため、分子を1次式に設定し、分解を行うことが簡単にできます。この手法によって、計算が効率よく進みます。

部分分数分解では、分母が3次式以上の分数に対して、分母より1つ小さい次数の分子を使うことで、計算を容易にし、解答を得ることができます。分子の次数が分母より1小さい理由は、計算を簡単にするためであり、このテクニックを使うことで効率的に解を求めることが可能です。