今回は、与えられた指数方程式 9^(x-y) = 81 と 25^(x+y) = 125 から、y^x の値を求める方法を解説します。難しそうに見えるかもしれませんが、しっかりと順を追って解いていきますので、安心してください。
1. 与えられた方程式を整理する
まず、与えられた式は以下の2つです。
- 9^(x-y) = 81
- 25^(x+y) = 125
これらの式を指数の基本的な性質を使って整理していきます。
2. 指数を統一する
9は3の2乗、25は5の2乗なので、それぞれ指数の形に変換してみましょう。
- 9 = 3^2 より 9^(x-y) = (3^2)^(x-y) = 3^(2(x-y))
- 25 = 5^2 より 25^(x+y) = (5^2)^(x+y) = 5^(2(x+y))
これにより、式が 3^(2(x-y)) = 81 と 5^(2(x+y)) = 125 となります。
3. 左辺と右辺を比較する
81は3の4乗、125は5の3乗なので、式は次のようになります。
- 3^(2(x-y)) = 3^4
- 5^(2(x+y)) = 5^3
これにより、指数部分を比較することができます。
4. 比較して解を求める
指数部分を比較することで、次のような式が得られます。
- 2(x-y) = 4 より x – y = 2
- 2(x+y) = 3 より x + y = 1.5
この2つの方程式を解くことで、xとyの値が求められます。
5. xとyの値を求める
連立方程式を解くと、x = 2.25、y = 0.25 となります。
6. y^x の値を求める
最後に、y^x の値を求めます。y = 0.25、x = 2.25 なので、y^x = 0.25^2.25 となります。これを計算すると、y^x ≈ 0.177となります。
7. まとめ
以上の手順で、y^x の値を求めることができました。指数方程式を解くときは、まず指数を揃えること、そして連立方程式を解くことが重要です。これで問題を解決できました。
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