二次関数の頂点と交点の求め方：y = x² + 2x - 3の場合

二次関数のグラフでは、頂点とy軸、x軸との交点を求めることが基本的な問題です。この記事では、y = x² + 2x – 3という二次関数を例にとり、頂点の座標とy軸、x軸との交点をどのように求めるかを解説します。

二次関数の一般的な形と頂点の求め方

二次関数は一般的にy = ax² + bx + cの形で表されます。ここでは、y = x² + 2x – 3という式を使って、グラフの特徴を理解します。この式では、a = 1, b = 2, c = -3です。頂点の座標を求めるために、頂点のx座標は次の式で求めます。

x = -b / 2a

この式を使って、xの値を求めると。

x = -2 / (2 × 1) = -1

したがって、頂点のx座標は-1です。次に、このxの値を元の式に代入して、yの値を求めます。

y = (-1)² + 2(-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4

したがって、頂点の座標は(-1, -4)となります。

y軸との交点は、x = 0のときのyの値を求めることで求められます。元の式にx = 0を代入して、yの値を計算します。

y = (0)² + 2(0) – 3 = -3

したがって、y軸との交点の座標は(0, -3)です。

x軸との交点は、y = 0のときのxの値を求めることで求められます。つまり、次の方程式を解きます。

0 = x² + 2x – 3

この二次方程式を解くために、解の公式を使います。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここでa = 1, b = 2, c = -3なので、解の公式に代入して計算します。

x = (-2 ± √(2² – 4 × 1 × -3)) / (2 × 1)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

したがって、xの解は2つあり、x = 1またはx = -3です。

したがって、x軸との交点の座標は(1, 0)と(-3, 0)です。

y = x² + 2x – 3の二次関数において、頂点の座標は(-1, -4)、y軸との交点は(0, -3)、x軸との交点は(1, 0)と(-3, 0)であることがわかりました。二次関数のグラフを描く際には、これらの情報を元にして、正確なグラフを描くことができます。