今回の問題では、x→0の極限を求める問題です。式の形がやや複雑ですが、実際にどのように解くかをしっかりと理解していきましょう。
1. 問題文の確認
与えられた式は以下の通りです。
- x²×sin(1/x)
- x×sin(1/x)/(1/x)
質問者さんは「x×sin(1/x)/(1/x)」に変形して計算したようですが、この方法では誤りが生じる可能性があります。次のセクションでは正しい解法を見ていきます。
2. 正しいアプローチ：x²×sin(1/x)の極限
まず、式をそのまま見てみましょう。
x²×sin(1/x) の極限を考えた場合、x→0の時にsin(1/x)は-1から1の間で振動します。そのため、この部分に注目する必要があります。しかし、x²が0に向かう速度はsin(1/x)の振動よりも速いため、全体としては極限が0に収束します。
したがって、x→0のとき、x²×sin(1/x)の極限は0となります。
3. 変形して計算した方法の誤り
質問者さんが「x×sin(1/x)/(1/x)」と変形した理由は、おそらく「x×sin(1/x)」がある形に似ていると感じたためでしょう。しかし、この変形を使って計算する方法は、極限の性質に合っていない場合があります。
実際には、x→0の極限においては、sin(1/x)の振動が引き起こす影響を考慮する必要があります。適切なアプローチとして、元の式をそのまま扱う方が適切です。
4. はさみうちの定理を使う方法
解答にある「はさみうちの定理」は、極限を求める際に非常に有効です。はさみうちの定理を用いると、x²×sin(1/x)の極限が0であることを確実に示すことができます。
はさみうちの定理を適用するためには、-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 という範囲を用いて、x²がこの範囲で挟み込みます。これにより、x→0のとき、x²×sin(1/x)が0に収束することが証明できます。
5. まとめ
結論として、x→0の極限を求める場合、x²×sin(1/x)の形においては、単純にx²が0に収束するため、極限も0になります。質問者さんの変形方法では誤りが生じるため、元の式をそのまま扱い、はさみうちの定理を使って計算することが重要です。
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