この質問では、f(x)→a (x→0) と g(t)→0 (t→∞) が与えられたときに、f(g(t))→a (t→∞) が成り立つかどうかについて考えています。数学における関数の極限の性質を理解することで、この問題の答えを解明できます。
問題設定の理解
与えられた条件は、f(x)がx→0のときにaに収束し、g(t)がt→∞のときに0に収束するというものです。この問題では、f(g(t))という合成関数の極限を求めることになります。基本的な考え方は、g(t)が0に近づくにつれて、f(g(t))がaに近づくかどうかを確認することです。
極限の性質と連続性
f(x)がx→0のときにaに収束するならば、f(x)はx=0で連続であるといえます。また、g(t)がt→∞のときに0に収束するならば、g(t)が0に非常に近づくとき、f(g(t))もaに収束するはずです。つまり、g(t)が十分に大きなtに対して0に近づく場合、f(g(t))はaに近づくことになります。
f(g(t))→a (t→∞) の成り立つ理由
この問題では、g(t)→0 (t→∞) という条件とf(x)→a (x→0) という条件があるため、g(t)が十分小さいtであれば、f(g(t))はaに収束することが期待されます。連続関数の極限の性質を利用すれば、合成関数f(g(t))もaに収束することがわかります。
まとめと結論
まとめると、f(x)→a (x→0) かつ g(t)→0 (t→∞) の場合、f(g(t))→a (t→∞) は成り立ちます。これは、連続関数の極限の性質を利用して、合成関数の極限も求めることができるためです。この問題は、数学の基本的な極限の概念を理解する良い例となります。
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