数式x^2 – 2x + 5に関する問題では、実数解を持つかどうか、またその理由について理解することが大切です。この記事では、この方程式の解について詳しく解説します。
方程式 x^2 – 2x + 5 の解について
まず、x^2 – 2x + 5 のような2次方程式を解く場合、平方完成を行うと解の性質を簡単に理解することができます。この方程式を平方完成すると、(x-1)^2 + 4 という形に変換されます。
ここで重要なのは、(x-1)^2という項です。これは常に0以上の値を取り、さらに4を足すことで、x^2 – 2x + 5は必ず4以上の値となります。したがって、xの値に何を入れても、結果は決して0にはなりません。このことから、実数解は存在しないことがわかります。
平方完成の意味と解の有無
平方完成とは、二次方程式をより簡単な形に変形する方法です。x^2 – 2x + 5の平方完成を行うことで、実数解の有無が明確にわかります。(x-1)^2 + 4の形に変形されると、xに実数を代入しても、右辺は必ず4以上になり、0にはならないことがわかります。これにより、実数解を持たないことが確認できます。
実数解を持たない理由
実数解を持たない理由は、平方完成後の(x-1)^2 + 4という形にあります。この式は、xが実数であれば(x-1)^2が0以上の値を取るため、最小値は4になります。従って、この方程式は決して0にはならず、実数解が存在しないのです。
まとめ
x^2 – 2x + 5の方程式は、平方完成を行うと(x-1)^2 + 4の形に変形され、必ず4以上の値を取ります。このため、実数解は存在せず、答えは「実数解を持たない」となります。このような問題に取り組む際は、平方完成を行うことが有効な手法であることを理解しておきましょう。
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