フーリエ変換 f(w) = 2(1 – cos(w))/w² の逆フーリエ変換による原関数の求め方

フーリエ変換は信号処理や物理学などの分野で広く利用されている数学的手法です。この記事では、フーリエ変換された関数 f(w) = 2(1 – cos(w))/w² を逆フーリエ変換して、その原関数を求める方法について解説します。

1. フーリエ変換と逆フーリエ変換の基本

フーリエ変換とは、時間領域の関数を周波数領域の関数に変換する方法です。逆フーリエ変換はその逆で、周波数領域の関数から時間領域の関数を求める手法です。これらの変換は、信号や波動の解析において重要な役割を果たします。

一般的に、フーリエ変換と逆フーリエ変換の公式は以下のように表されます。

• フーリエ変換: f(w) = ∫[f(t) e^(-iwt)] dt
• 逆フーリエ変換: f(t) = (1/2π) ∫[f(w) e^(iwt)] dw

2. 関数 f(w) = 2(1 – cos(w))/w² の逆フーリエ変換を求める

まず、与えられた関数 f(w) = 2(1 – cos(w))/w² に注目しましょう。この関数は、特定の周波数成分がどのように分布しているかを示しており、これを逆フーリエ変換することで時間領域の関数を求めることができます。

この関数の逆フーリエ変換を行うには、まず一般的な定積分を用いて次のように表現します。

f(t) = (1/2π) ∫[2(1 – cos(w))/w² e^(iwt)] dw

3. 逆フーリエ変換の計算手順

逆フーリエ変換を計算するには、関数 f(w) を積分して時間領域の関数 f(t) を得る必要があります。これには、積分の中に含まれる項を変換して計算する必要があります。このような積分を解くためには、まず定積分の範囲を設定し、次に特定の変換公式を用いて解法を導きます。

具体的な計算には、変換表を使うことが多いですが、計算結果として得られる時間領域の関数は以下のような形になります。

f(t) = [sin(t)/t] – δ(t)

4. 原関数の求め方

逆フーリエ変換によって得られた時間領域の関数 f(t) = [sin(t)/t] – δ(t) が、この関数の原関数です。ここで、δ(t) はディラックのデルタ関数であり、関数の定義域で特異点を示します。

この結果により、f(w) に対応する時間領域の関数を求めることができ、信号の解析や物理的な解釈を行う際に役立ちます。

5. まとめ

フーリエ変換された関数 f(w) = 2(1 – cos(w))/w² の逆フーリエ変換を行うことで、時間領域での関数 f(t) を得ることができました。逆フーリエ変換の計算には積分や変換表を使用し、最終的には sin(t)/t – δ(t) の形になることがわかりました。これは信号解析や物理学的な応用において重要な意味を持つ結果です。