この問題では、n次元の数列の積分に関して、群数列と対称群を使って可積分性を証明する方法について解説します。問題の要点は、群数列の順番に対して、積分の値がどう変わるか、またその証明がどう行われるかにあります。
群数列と対称群の定義
まず、問題文に登場する群数列とは、f: I = [a₁,b₁] × … × [aₙ,bₙ] → R のように定義される連続関数です。この関数は、与えられた範囲内で連続的に値を取ります。さらに、ᵩ∈Sn(n次対称群) というのは、1からnまでの整数の順列を指します。この順列を用いて、積分範囲を変換し、積分がどのように変化するかを考察します。
特に、群の作用を受けることによって、積分の範囲がどう変化するかが重要なポイントです。具体的には、f(z₁,…,zₙ) = f(zᵩ₍₁₎,…,zᵩ₍ₙ₎) と同一視することで、積分範囲を変換し、可積分性を証明します。
定理の証明の流れ
証明の中心となるのは、次の定理です。定理によれば、f: I = [a₁,b₁] × … × [aₙ,bₙ] → R が連続ならば、積分の結果は次のように表されます。
∫I f = ∫[a₁,b₁] { … { ∫[aₙ,bₙ] f dxₙ } … } dx₁
この定理を利用することで、fをI上で積分した結果を、対称群を使った新しい範囲J上で積分した結果と一致させることができます。
群数列における積分範囲の変換
群数列を扱う際、積分範囲の変換は非常に重要なポイントです。ここで登場するφᵩ: Rⁿ → Rⁿ は、順列ᵩによって変換される写像です。φᵩは全単射であり、積分範囲を変換する役割を果たします。
φᵩにより、元々の範囲I = [a₁,b₁] × … × [aₙ,bₙ]が、J = [aᵩ₍₁₎, bᵩ₍₁₎] × … × [aᵩ₍ₙ₎, bᵩ₍ₙ₎]に変換され、積分の値が一致することが証明されます。具体的には、fの積分をJ上で計算することで、元の範囲I上での積分結果が得られることが示されます。
積分の一致とリーマン和
積分の一致を示すために、リーマン和を利用します。リーマン和を計算する際、Iの分割Δを使い、その対応するJの分割Δ’を求めることで、積分の一致が確認できます。
具体的には、IₖとJₖの小区間が一致することを確認し、それぞれの区間で計算した値が一致することから、積分の一致が導かれます。リーマン和が一致することで、積分値が変換後も一致することが確認されます。
まとめ
この問題を解くためには、群数列の概念と対称群の作用を理解し、積分範囲の変換を行うことが必要です。対称群を使うことで、積分範囲を変換し、積分結果が一致することを示すことができます。これにより、積分の可積分性が保証され、与えられた問題を解くことができます。
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