方程式 x^4 + 2ax^2 – 3a + 4 = 0 の実数解を求めるためのaの範囲

この記事では、方程式「x^4 + 2ax^2 – 3a + 4 = 0」において実数解を持つためのaの範囲を求める方法について解説します。この問題で、場合分けが必要になる理由を理解し、どうして-a < 0の場合分けを行うのかについても詳しく説明します。

方程式の整理と解法の概要

与えられた方程式「x^4 + 2ax^2 – 3a + 4 = 0」を解くには、まずその式を整理する必要があります。ここでは、x^2を新しい変数で置き換えることで解きやすくなります。例えば、x^2をtとおいた場合、方程式は次のように変換されます。

「t^2 + 2at – 3a + 4 = 0」

実数解を持つためのaの条件

方程式が実数解を持つためには、その判別式が0以上である必要があります。判別式が0未満だと、解は実数解を持ちません。

この場合、tに関する2次方程式の判別式「Δ = (2a)^2 – 4(1)(-3a + 4)」を使って解の範囲を求めます。判別式が0以上であれば、実数解を持つことがわかります。

場合分けの理由

ここで、なぜ-a < 0の場合分けを行うのかというと、式を簡単に扱うためです。-a < 0のケースでは、実数解を持つための条件が変化するため、別のアプローチが必要となります。この場合分けを行うことで、方程式の解が実数解であるかどうかを効率的に判断することができます。

したがって、-a < 0と-a > 0の2つのケースに分けて、解の範囲を求めることが重要になります。

まとめ

方程式「x^4 + 2ax^2 – 3a + 4 = 0」におけるaの範囲を求めるためには、判別式を使って実数解が存在する条件を確認する必要があります。また、-a < 0と-a > 0で場合分けを行うことで、より効率的に解を求めることができます。このような場合分けを理解することは、方程式を解く上で非常に重要です。