不等式の証明: 0≦a≦bのとき、a/(1+a) ≦ b/(1+b) を示す方法

この問題では、0≦a≦bのときにa/(1+a) ≦ b/(1+b)が成り立つことを示すことが求められています。以下では、論理的なステップに従って証明方法を解説します。

1. 問題の設定

まず、与えられた不等式は次のように書き表せます:

a/(1+a) ≦ b/(1+b) (0 ≦ a ≦ b)

この不等式が成り立つことを示すためには、a と b の関係性を理解し、その範囲内で不等式が成り立つことを証明する必要があります。特に、a ≦ b の場合にどうして不等式が成り立つかを説明します。

まず、両辺の差をとってみます:

b/(1+b) – a/(1+a)

これを通分して計算します:

(b(1+a) – a(1+b)) / ((1+b)(1+a))

分子を展開し、整理すると次のようになります:

(b – a) / ((1+b)(1+a))

ここで、(b – a) は非負であり、(1+b)(1+a) も常に正です。したがって、この差は常に非負となり、元の不等式が成り立つことがわかります。

このように、a ≦ b の場合に a/(1+a) ≦ b/(1+b) が成立することが証明されました。

この証明では、両辺の差をとり、それが常に非負であることを確認することで、不等式が成り立つことを示しました。