この問題では、数Bの数列を用いて、連立不等式を満たす整数(x, y)の組の個数を求める方法を解説します。具体的には、与えられた条件に基づいてxとyの値を求め、Anの式を導きます。
1. 問題の概要
問題では、次のような数列が与えられています。
- Sn = 4n^2
- Cn = 2n (n=1,2,3,•••)
そして、次の連立不等式が満たされるような整数x, yの組(x, y)の個数を求める必要があります。
- 1 ≦ x ≦ Cn
- 1 ≦ y ≦ Sn
- x^2 ≦ y ≦ 4x^2
この条件を満たす整数の組み合わせを求めるのが目的です。
2. x=k (k=1,2,3,•••,2n) と固定して解答
まず、x = k (k = 1, 2, 3, •••, 2n) と固定して考えます。この方法では、xの値が決まった後にyの範囲を計算することになります。
与えられた不等式を解くことで、xに対するyの範囲を求め、その範囲内でyが整数となる場合の数をカウントします。
3. 連立不等式を満たす整数x, yの組の個数
連立不等式を満たす整数x, yの組の個数をAnとして求めるためには、まずxの値を固定し、その後にyの範囲を調べます。
具体的には、1 ≦ x ≦ Cn として、xに対応するyの範囲を求め、次にその範囲内でx^2 ≦ y ≦ 4x^2 を満たすyの個数を数えます。これをすべてのxに対して繰り返し、最終的にAnの値を求めます。
4. 偶数と奇数の場合の計算
問題で与えられている通り、偶数のnに対してAnは 2^(n+2) – 16、奇数のnに対しては 2^(n+2) – 8 という式で求めることができます。この式の導出過程についても説明を加えながら、具体的な計算を行います。
この過程では、nの値が偶数か奇数かによって、計算方法や結果が異なることに注意が必要です。
5. まとめ
この問題を解くためには、まずxを固定してyの範囲を求め、次にその範囲内でyが整数となる場合の数をカウントします。最後に、与えられた式に基づいてAnの値を求めることができます。
数学的なアプローチを用いて、連立不等式を満たす整数の組み合わせの個数を求める方法を学ぶことができました。この問題の解法は、数列や不等式を扱う問題に対する理解を深めるために役立ちます。
コメント