「(a+6/b)(b/2+3/a)≧12」という不等式を証明し、等号が成り立つときを調べる問題について詳しく解説します。この問題では、まず与えられた式を展開し、不等式としての性質を調べます。さらに、等号が成り立つ条件を求める方法を解説します。
不等式の展開と変形
まずは、与えられた不等式を展開してみましょう。式は次のように表されます。
(a + 6/b)(b/2 + 3/a) ≧ 12
この式を展開すると。
a(b/2) + a(3/a) + (6/b)(b/2) + (6/b)(3/a)
計算すると。
(ab/2) + 3 + 3 + (18/ab)
したがって、次のように表されます。
ab/2 + 6 + 18/ab ≧ 12
不等式の整理
次に、この不等式を整理してみましょう。
ab/2 + 18/ab ≧ 6
ここで、左辺をabとその逆数の形に分けることで、さらに簡単に解析できるようになります。
不等式の最小値
次に、不等式が最小値を取るとき、すなわち等号が成り立つときを調べます。最小値を得るためには、abの値が適切に設定されている必要があります。これを解くために、AM-GM不等式（算術平均と幾何平均の不等式）を使用します。
AM-GM不等式によれば、ab/2と18/abの算術平均は、それぞれの幾何平均以上になります。この場合、幾何平均を取ると、最小値が得られるときに等号が成り立つことがわかります。
等号が成り立つ条件
等号が成り立つ条件は、ab/2 = 18/ab であるときです。この条件を満たす値を求めると、ab = 6 となります。したがって、abが6のときに、等号が成り立ちます。
まとめ
「(a+6/b)(b/2+3/a)≧12」という不等式は、展開と整理を経て、AM-GM不等式を使用することで最小値を求めることができました。最小値を取る条件はab = 6であり、このとき不等式が成り立つことが確認できました。
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