「13^100を9で割った余りは？」という問題は、モジュラー算術（剰余算）を使って解くことができます。大きな指数を扱う際には、繰り返しのパターンを利用して効率的に求めることが可能です。この問題では、13のべき乗が9で割った余りがどのように変化するのかを探ります。
1. モジュラー算術を使う理由
通常、非常に大きな数を直接計算するのは難しいですが、モジュラー算術を使うことで、剰余を求める計算を簡単にできます。具体的には、13^100のような大きな数も、ある法則に基づいて計算できます。
2. 13^nを9で割った余りの繰り返しパターン
13を9で割った余りは、まず計算してみると、13 ÷ 9 = 1 余り 4 です。つまり、13 ≡ 4 (mod 9) です。この性質を利用して、13^nを9で割った余りを求めることができます。
次に、13のべき乗を9で割った余りを計算します。
- 13^1 ≡ 4 (mod 9)
- 13^2 ≡ 13 × 13 = 169 ≡ 7 (mod 9)
- 13^3 ≡ 13 × 7 = 91 ≡ 1 (mod 9)
ここで、13^3 ≡ 1 (mod 9) が出てきました。このことから、13^nを9で割った余りは周期的に繰り返すことがわかります。具体的には、3の倍数で余りが1になるという周期性です。
3. 13^100の余りを求める
13^100を9で割った余りを求めるには、まず100を3で割った余りを考えます。
100 ÷ 3 = 33 余り 1 です。つまり、13^100と13^1は同じ余りになるということです。
したがって、13^100を9で割った余りは13^1を9で割った余りと同じく、4です。
4. まとめ
「13^100を9で割った余り」は、モジュラー算術の法則を利用することで、計算量を大幅に減らして求めることができました。答えは4となります。このように、指数の問題でも周期性や法則を見つけることで効率的に解くことができます。
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