微分方程式 x=0における解析的解の求め方

この記事では、微分方程式 x(1-x)y”+(1-3x)y’-y=0 において、初期条件 y(0) = 1 と y'(0) = 1 を使用して、x=0 における解析的解を求める方法について解説します。

微分方程式の概要

与えられた微分方程式は次のように表されます。

x(1-x)y”+(1-3x)y’-y=0

これは2階線形微分方程式であり、初期条件として y(0) = 1 および y'(0) = 1 が与えられています。この問題では、解析的に解を求めるために級数展開を使用する方法を取り上げます。

解を求めるために、まず関数 y(x) をテイラー展開として表現します。つまり、y(x)を次のように展開します。

y(x) = Σ (aₙ xⁿ)

ここで、aₙ は未知の係数です。微分方程式に代入することで、aₙ の値を求めます。

微分方程式に y(x) = Σ (aₙ xⁿ) を代入し、各項を整理して比較します。計算を進めると、次のような帰納的な関係式を得ることができます。

aₙ = 1 / (n+1)(n+2)

これにより、級数の各項が求まります。

級数展開を使用して、x=0 での解を求めることができます。y(x) = Σ (aₙ xⁿ) を用いて、x=0 の時の解は次のようになります。

y(0) = Σ aₙ 0ⁿ = a₀ = 1

y'(x) = Σ (n aₙ xⁿ⁻¹) より、y'(0) = a₁ = 1 となります。これにより、解析的解が得られます。

この問題では、級数展開を使用して微分方程式の解析解を求めました。初期条件 y(0) = 1 および y'(0) = 1 を考慮した場合、解は次のように表されます。

y(x) = 1 + x + …

級数展開を使ったこの方法は、微分方程式の解法の一つの強力な手段です。