ルベーグ積分と連続関数の合成に関する解説

この質問では、ルベーグ可測関数と連続関数の合成がルベーグ可測であるかどうかについて解説します。特に、関数fがルベーグ可測で、gが連続関数の場合、f ∘ gがルベーグ可測であるかについて検討します。

1. ルベーグ可測関数と連続関数の基本的な理解

まず、ルベーグ可測関数と連続関数の定義を振り返りましょう。ルベーグ可測関数は、ボレル集合に対して定義された関数で、指定された測度空間において測度が有限である必要があります。一方、連続関数は、定義域内で途切れることなく変化する関数です。

連続関数gに対して、f ∘ gの形で合成を行うとき、gの連続性が合成後の関数の性質にどう影響するかを考えます。特に、gが連続関数であれば、その定義域内での合成関数も連続となります。

そのため、gが連続関数であれば、gの像におけるfの可測性が保持され、f ∘ gもボレル可測となります。

ルベーグ可測関数fと連続関数gの合成f ∘ gがルベーグ可測であるかは、gが連続であるため、合成後の関数が引き続き可測であるかどうかが重要です。

一般的に、連続関数gが定義域内で有界であれば、gの像も有界であり、fの可測性が保持されるため、f ∘ gはルベーグ可測関数となります。

結論として、fがルベーグ可測関数で、gが連続関数であれば、f ∘ gはルベーグ可測関数になります。これは、連続関数の合成が可測関数の性質を保持するためです。

ルベーグ可測関数と連続関数の合成に関する問題において、gが連続関数であれば、その合成f ∘ gはルベーグ可測関数となります。これにより、ボレル可測関数と連続関数の組み合わせにおける可測性の保持が確認されました。