円を回転させてできる球の体積と切断面積の求め方 – 数学の問題解説

今回は、xy平面上にある円を回転させてできる球の体積と、その球を直線で切断した際の切り口の面積を求める問題について解説します。この問題では、円の方程式「x^2 + y^2 = 25」を基に、球の体積と切断面積を求めます。

問題の概要

問題は次のように設定されています。xy軸上に「x^2 + y^2 = 25」という円があり、この円をy軸で1回転させた際にできる球の体積を求めます。また、その球を「y = 2x – 4」という線分で切断した場合の切り口の面積を求める問題です。

円「x^2 + y^2 = 25」をy軸で1回転させると、得られる立体は球となります。この場合、球の半径は5（半径 = √25）です。球の体積は次の公式で求めることができます。

V = (4/3)πr^3

ここでr = 5なので、球の体積Vは次のように計算できます。

V = (4/3)π(5)^3 = (4/3)π125 = (500/3)π ≈ 523.6立方単位

次に、球を「y = 2x – 4」という直線で切断したときの切り口の面積を求めます。切り口は球の断面を形成する円になります。この問題において、y = 2x – 4の直線が球の断面をどのように切るかを考えます。まず、直線と球の交点を求める必要があります。

球の方程式「x^2 + y^2 = 25」と直線の方程式「y = 2x – 4」を代入して交点を求めると、次の式が得られます。

x^2 + (2x – 4)^2 = 25

これを解くと、xの値が得られます。得られたxの値をy = 2x – 4に代入すると、切り口の半径が求まります。得られた半径を元に、円の面積を求めます。円の面積は次の公式で求められます。

A = πr^2

このように、問題を解くためには球の体積と切り口の面積をそれぞれの公式を使って計算します。問題を通じて、円の回転による立体の生成や、直線による切断の計算方法を学びました。