曲線C1:x^2 + y^2 = 16とC2:y = ax^2 + bの交点条件を求める方法

この問題では、二つの曲線C1とC2が交点を持つ条件を求めます。C1は円の方程式x^2 + y^2 = 16、C2は放物線の方程式y = ax^2 + bです。

1. 曲線C1: x^2 + y^2 = 16の理解

C1は原点(0, 0)を中心とした半径4の円です。したがって、この方程式が意味するのは、全ての点(x, y)が円周上にあるということです。

C2は放物線の方程式です。aとbは定数で、aが放物線の開き具合を、bがy軸との交点を決定します。この放物線が円と交わるための条件を求めます。

交点を求めるためには、二つの曲線の方程式を連立させる必要があります。C1の方程式をyについて解き、C2に代入する方法を使います。C1の方程式をy = √(16 – x^2)と解き、これをC2の方程式に代入します。

したがって、ax^2 + b = √(16 – x^2)となります。この式を解くことで、交点のx座標とy座標が得られます。

式が解けるためには、xの値が実数である必要があります。これによりaとbの条件が決まります。計算すると、aとbに対して交点が存在する条件が導かれます。

このようにして、交点が存在するためのaとbの条件を求めることができます。詳細な計算は連立方程式を解くことで進められます。