三角波のフーリエ逆変換と積分計算の解法

この記事では、三角波のフーリエ逆変換に関する積分計算の解法について解説します。具体的には、次のような積分を解く方法について説明します。

1. 問題の式

与えられた積分式は次のようになります。

(1/2π)*∫[-∞~∞] {(2*(1-cosω)/ω^2)*e^iωx}dω

この積分を解くと、三角波のフーリエ逆変換が得られることになります。積分の結果として、|x| ≤ 1のときは「1 – |x|」、|x| > 1のときは「0」となることが予想されます。

フーリエ逆変換は、信号処理や波動方程式の解法において非常に重要な役割を果たします。この積分では、三角波の周波数成分を積分することで、その逆変換を得ようとしています。フーリエ逆変換は、特定の周波数成分を取り込むため、積分に含まれる「e^iωx」項が重要な役割を果たします。

与えられた積分式は、次のように分解できます。

5log(4)5-3log(4)10

これを解くには、まず各項について定積分を計算します。定積分の公式を用いると、最終的に次のような結果が得られます。

 ≒ 5•1.16107 - 3•1.66192 ≒ 5.80535 - 4.98305 ≒ 0.82230

この結果が示すのは、|x| ≤ 1の範囲では三角波の強度が減衰し、|x| > 1では完全にゼロになるということです。これは、フーリエ逆変換によって得られた信号が、三角波の形状に従って強度が決まるためです。

フーリエ逆変換を使ったこの積分計算では、与えられた式を正しく解くことによって、三角波の特徴を表現することができます。この計算を通して、積分の取り方やフーリエ変換の理解を深めることができます。