合成関数の微分と対数微分法の使い方

このページでは、合成関数の微分の公式を使わずに、関数の微分を行う方法と、対数微分法を使った微分の解法について解説します。特に、問題に出てきた関数をどのように微分するかを具体的に示します。

1. 合成関数の微分 (公式なしで)

与えられた関数は以下の通りです。

y = x⁻⁵ - 5^x + ₃√x²

この関数を微分するには、まず各項を個別に微分します。

1. x⁻⁵の微分は、指数法則に従って。

d/dx(x⁻⁵) = -5x⁻⁶

2. -5^xの微分は、指数関数の微分に従って。

d/dx(-5^x) = -5^x ln(5)

3. ₃√x²の微分は、冪関数の微分に従い。

d/dx(₃√x²) = (2/3)x⁻¹/³

したがって、最終的な微分結果は。

dy/dx = -5x⁻⁶ - 5^x ln(5) + (2/3)x⁻¹/³

合成関数の微分を行う場合、公式を使わずに分解して計算することも可能です。例えば、y = a⁻²^xの微分を考える場合、aの項が関数の外側にあるので、まず内側の関数を微分します。

dy/dx = a⁻²^x ln(a)

対数微分法は、積や商、合成関数を含む複雑な関数の微分を行うのに非常に役立ちます。y = x^x（x > 0）の微分を求めるために、まず両辺に自然対数を取ります。

ln(y) = ln(x^x) = x ln(x)

次に、両辺をxで微分します。

d/dx(ln(y)) = d/dx(x ln(x))

左辺は、yの微分なのでdy/dxとなり、右辺は積の微分法則を使います。

dy/dx = y(ln(x) + 1)

そしてyを元に戻すと、最終的に微分結果は次のようになります。

dy/dx = x^x(ln(x) + 1)

微分は、関数の構造に応じて適切な方法を選択することが重要です。合成関数や指数関数、対数微分法など、各種の技法を使いこなすことが、より複雑な問題を解くための鍵となります。