整数問題：pとqが互いに素であるとき、p+qとpqの最大公約数が1であることの証明

この数学の問題では、pとqが互いに素である正の整数であるとき、p + qとpqの最大公約数が1であることを証明します。まず、pとqが互いに素であるという定義について確認し、それをもとに証明を進めます。

pとqが互いに素であるとは

pとqが互いに素であるとは、pとqの最大公約数が1であるということです。つまり、pとqには共通の約数が1しかないということです。この定義を出発点にして、p + qとpqの最大公約数が1であることを証明します。

pとqが互いに素であるとき、p + qとpqの最大公約数をgとしたときに、gが1であることを示す必要があります。まず、gがp + qとpqの公約数であると仮定します。

gがp + qとpqの両方を割り切る場合、gはpとqの公約数でもある必要があります。しかし、pとqは互いに素であるため、gは1以外の共通の約数を持つことができません。したがって、gは1でなければならないという結論に至ります。

例えば、p = 3, q = 5とすると、p + q = 8, pq = 15です。この場合、gはp + qとpqの最大公約数であるため、gは8と15の公約数であり、g = 1であることが確認できます。このように、p + qとpqの最大公約数は1であることが証明されました。

pとqが互いに素である正の整数であるとき、p + qとpqの最大公約数が1であることが証明されました。この証明は、pとqが互いに素であるという定義を基に、最大公約数の性質を利用して行いました。整数問題において、互いに素な数の性質を理解することが重要であることがわかります。