積分 ∮¹₀ [1/√(x²+1)] dx を解くには、まず積分の形を変形して解法を進めていきます。この記事では、この積分をどうやって解くかをわかりやすく説明します。
積分の展開
与えられた積分式は以下のようになります。
∮¹₀ [1/√(x²+1)] dx
まずは、この積分を解くために適切な置き換えを行います。ここでは、x = tan(θ) という置き換えを使用します。これにより、√(x²+1) が簡単に変形できます。
置換積分の手順
1. x = tan(θ) と置換します。
これにより、dx = sec²(θ) dθ となり、積分式が次のように変わります。
∫ sec²(θ) / √(tan²(θ) + 1) dθ
2. tan²(θ) + 1 = sec²(θ) なので、√(sec²(θ)) = sec(θ) です。
したがって、積分式は次のように変わります。
∫ sec²(θ) / sec(θ) dθ = ∫ sec(θ) dθ
積分の実行
sec(θ) の積分を計算します。
∫ sec(θ) dθ = ln|sec(θ) + tan(θ)| + C
ここで、C は積分定数です。
元の式に戻す
元の変数 x に戻すために、x = tan(θ) を使用します。すると、sec(θ) = √(x²+1) となり、tan(θ) = x です。
最終的な答えは次のように表せます。
ln|√(x²+1) + x| + C
まとめ
この積分を解く過程では、置換積分を使用して、最終的に log(x + √(x²+1)) という形にたどり着きました。この方法で積分を計算することができました。
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