二項式の展開と計算方法: (x-1)²-(x-2)(x+2) と (y+8)²-y(y-1) の解法

数学の問題において、二項式の展開や計算は非常に重要な基本技術です。この記事では、二項式の展開を含む計算式「(x-1)² – (x-2)(x+2)」と「(y+8)² – y(y-1)」について、その解法をわかりやすく解説します。

(x-1)² – (x-2)(x+2) の解法

まず、(x-1)²を展開してみましょう。二項式の二乗を展開するとき、(a-b)² = a² – 2ab + b² の公式を使います。この式に当てはめて、(x-1)²を展開すると次のようになります。

(x-1)² = x² – 2x + 1

次に、(x-2)(x+2)を展開します。これは「差の二乗」の形になっています。公式 (a-b)(a+b) = a² – b² を使うと。

(x-2)(x+2) = x² – 4

したがって、元の式は次のように整理できます。

(x-1)² – (x-2)(x+2) = (x² – 2x + 1) – (x² – 4) = x² – 2x + 1 – x² + 4 = -2x + 5

次に、(y+8)² – y(y-1) を展開します。まず、(y+8)²を展開するために、(a+b)² = a² + 2ab + b² の公式を使用します。

(y+8)² = y² + 16y + 64

次に、y(y-1)を展開します。

y(y-1) = y² – y

したがって、元の式は次のように整理できます。

(y+8)² – y(y-1) = (y² + 16y + 64) – (y² – y) = y² + 16y + 64 – y² + y = 17y + 64

このように、二項式の展開を行う際には、公式を適切に使い分けることが重要です。特に、(a-b)²や(a+b)(a-b)のような基本的な公式を覚えておくと、計算がスムーズに進みます。また、計算の際に符号に注意しながら進めることが求められます。

最終的に、問題文の式を展開した結果、(x-1)² – (x-2)(x+2) = -2x + 5、(y+8)² – y(y-1) = 17y + 64 となります。