三角関数の問題：f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θ の値域を求める方法

三角関数を扱う問題では、与えられた式から関数の値域を求めることがよくあります。ここでは、f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θ のような三角関数の式について、θが全実数を動くときのf(θ)の値域を求める方法を解説します。

f(θ)の式を整理する

まず、f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θという式を見ていきます。この式は三角関数を含んでいますが、cosθとsinθを含む項が複数あります。

ここで、cosθとsinθを利用して式を整理するために、いくつかの三角恒等式を使います。特に、cos²θ + sin²θ = 1という恒等式を利用すると、式を簡単にすることができます。

式を変形して標準形にする

次に、式を整理して標準的な形に変形します。まず、cosθとsinθを使って展開します。

f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θ

ここで、sin²θをcos²θと置き換えることを考えます。この操作により、より簡単な式に変形できます。

最大値と最小値を求める

次に、関数の最大値と最小値を求めます。三角関数は周期的な関数なので、f(θ)も周期的に変化します。最大値と最小値を求めるためには、f(θ)を微分してその増減を調べる方法があります。

ただし、今回は微分を使わずに、cosθとsinθの範囲を考慮することで、f(θ)の値域を求めることができます。

f(θ)の値域の求め方

f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θの式を変形して、最小値と最大値を求める方法は、まずcosθとsinθの範囲が-1から1であることを確認し、次に式の中でそれらの最大値と最小値を代入することです。

最終的に、θが全実数を動くときのf(θ)の値域は、最大値と最小値に基づいて決まります。この方法で、具体的にf(θ)の値域を求めることができます。

まとめ

三角関数を含む式の値域を求めるには、まず式を整理し、関数の最大値と最小値を求めます。f(θ) = 5cos²θ + 6cosθsinθ – 3sin²θ のような問題では、cosθとsinθの範囲を利用して値域を求めることができます。微分を使わなくても、三角関数の特性を理解することで、正確に値域を導くことが可能です。