平方完成は、2次方程式や2次関数を扱う上で非常に重要な手法です。ここでは、関数y = 2x^2 + 6x + 7を平方完成の方法で解説します。この方法を使うことで、関数のグラフの特徴や、解の求め方がより明確に分かるようになります。
平方完成の基本的な方法
平方完成を行う基本的な手順は、以下の通りです。
- 1. 係数を調整して、x^2の前の係数が1になるようにする。
- 2. xの項を見て、平方の形にするために必要な数を加えたり引いたりする。
- 3. 完成した平方の形に戻し、整理する。
y = 2x^2 + 6x + 7の平方完成
与えられた関数y = 2x^2 + 6x + 7で平方完成を行います。まず、x^2の前の係数が2なので、このままでは平方完成ができません。最初に、x^2の前の係数を1にするために、2で因数分解します。
y = 2(x^2 + 3x) + 7
次に、x^2 + 3xの部分を平方完成します。このために、(3/2)^2 = 9/4を加えます。そのため、次のように式を変形します。
y = 2(x^2 + 3x + 9/4 - 9/4) + 7
式を簡略化すると、次のようになります。
y = 2((x + 3/2)^2 - 9/4) + 7
次に、括弧の外で計算します。
y = 2(x + 3/2)^2 - 2(9/4) + 7
この計算を進めると。
y = 2(x + 3/2)^2 - 9/2 + 7
そして、7を2/2にして統一すると。
y = 2(x + 3/2)^2 + 5/2
平方完成した結果
平方完成を行った結果、関数yは次のように表せます。
y = 2(x + 3/2)^2 + 5/2
この形にすることで、xの変化に対するyの変化がより分かりやすくなります。特に、この式は頂点形式と呼ばれ、グラフの頂点を簡単に求めることができます。
まとめ：平方完成の重要性
平方完成を行うことで、2次関数のグラフの頂点を簡単に求めたり、関数の性質をより理解したりすることができます。今回のように、y = 2x^2 + 6x + 7のような式を平方完成することで、関数の形が簡潔に表現され、問題を解きやすくなります。
数学の問題を解く際には、平方完成をうまく活用することで、解法がスムーズに進むことが多いので、ぜひ覚えておきましょう。
コメント