硬貨投げ問題の確率解析：原点に戻る確率と獲得点数の期待値

この問題は、硬貨を投げることで点Pを移動させ、原点に戻るたびに得点を獲得するという確率の問題です。まず、硬貨投げの確率を求め、次にその結果を基に得点の期待値を計算します。以下に、問題を解決するための方法と詳細な計算過程を解説します。

問題の理解と設定

問題では、点Pが数直線上にあり、最初は原点に位置しています。硬貨を投げると、表が出た場合はPが正の方向に1だけ移動し、裏が出た場合は負の方向に1だけ移動します。原点に戻るたびに得点を獲得します。これを前提にして、各問を解いていきます。

硬貨を2回投げた場合の全ての組み合わせは、表表、表裏、裏表、裏裏の4通りです。Pが原点に戻るためには、正方向と負方向に動く回数が等しくなる必要があります。表表、裏裏では原点に戻りませんが、表裏、裏表では原点に戻ります。

したがって、Pが原点に戻る確率は、表裏または裏表が出る確率の合計で、これを計算すると次のようになります。確率は2/4 = 1/2です。

硬貨を4回投げた場合、全ての組み合わせは16通りです。その中で、Pが原点に戻る場合は、2回正の方向、2回負の方向に動く場合です。このような場合の組み合わせは、4回の投げの中から2回を正の方向に選ぶ組み合わせです。これは組み合わせ計算で、C(4, 2) = 6通りとなります。

したがって、Pが原点に戻る確率は6/16 = 3/8です。

4回目に初めて1点を獲得するためには、最初の3回のうちにPが原点に戻らないこと、そして4回目にPが原点に戻る必要があります。最初の3回でPが原点に戻らない確率は、Pが正負の方向に動き、最終的に原点に戻らないような場合です。

この場合、4回目に初めて原点に戻る確率は、次のように計算されます。確率は1/8となります。

点数の合計の期待値は、各回に得られる点数を期待値として計算するものです。Pが原点に戻る回数を平均すると、4回の投げで得られる期待点数は次のように計算されます。

期待値は、Pが原点に戻る確率を基にした計算で、期待点数は次の式で求められます：E(X) = 3/8 * 1 + 1/8 * 2となり、期待点数は合計で1.5点です。

この問題を通して、硬貨投げの確率問題の解法と、得点の期待値の計算方法を学びました。特に、硬貨を投げる回数や得点の獲得条件を考慮した確率の計算方法は、確率論における基本的なアプローチです。この問題を解くことで、確率計算の基礎をしっかりと理解することができます。