テーラー展開における積分公式の証明 | 複素関数論の理解

本記事では、複素関数のテーラー展開に関する問題を解説し、特に与えられた積分公式が成立することを示す方法について説明します。具体的には、テーラー展開を使った積分式とその証明を段階的に解説します。

1. 問題の確認

問題文では、複素関数 f(z) = ∑[n=0,∞] a_n z^n において、次の積分式が成り立つことを示すことが求められています：
1/2π ∫[0, 2π] |f(re^(iθ))|^2 dθ = ∑[n=0,∞] |a_n|^2 r^(2n)（0 ≤ r < R）。
ここで、f(z)はテーラー展開によって表される複素関数であり、rは0からRまでの範囲の実数です。

2. テーラー展開と複素数の積分

まず、f(z)をテーラー展開で表現します。f(z) = ∑[n=0,∞] a_n z^n となるので、f(re^(iθ)) = ∑[n=0,∞] a_n r^n e^(inθ) です。この式を積分する際、複素数の絶対値を使って積分の形を整理する必要があります。

次に、積分式の絶対値を計算します。|f(re^(iθ))|^2 = (∑[n=0,∞] a_n r^n e^(inθ)) (∑[m=0,∞] a_m r^m e^(-imθ)) となります。この式を展開し、積分を行うことで、結果的に∑[n=0,∞] |a_n|^2 r^(2n)という形になります。

3. 積分計算と公式の導出

積分式を展開した後、e^(inθ) と e^(-imθ) の積分を計算します。これらの積分結果は、n=mのときに1になり、それ以外の場合は0になるため、最終的に左辺が右辺の形に一致します。

積分計算を行うと、次のような式が得られます：
1/2π ∫[0, 2π] |f(re^(iθ))|^2 dθ = ∑[n=0,∞] |a_n|^2 r^(2n)。これにより、問題文の公式が証明されます。

4. まとめ

本記事では、テーラー展開における積分式の証明方法を解説しました。複素関数のテーラー展開を使い、積分を展開して計算することで、与えられた公式が成り立つことが確認できました。この問題を通じて、複素数の積分とテーラー展開の結びつきについての理解が深まりました。