この問題では、放物線 y = x^2 上の点P(t, t^2)が与えられ、2点A(-1, 1)とB(4, 16)の間にあるとき、三角形APBの面積の最大値を求めることが求められています。高校一年生でも分かるように、この問題を解くためのステップを順を追って解説します。
1. 三角形の面積を求める公式
三角形の面積を求める公式として、次の式を使用します。
面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ
ここでは、三角形APBの底辺は点Aと点Bの距離、そして高さは点Pからこの直線までの垂直距離になります。まず、この公式を使って面積を表現する方法を考えます。
2. 底辺ABの長さを求める
点A(-1, 1)と点B(4, 16)の間の距離を求めるために、距離公式を使います。
距離 = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2)
点A(-1, 1)と点B(4, 16)の座標を代入すると。
距離AB = √((4 – (-1))^2 + (16 – 1)^2) = √(5^2 + 15^2) = √(25 + 225) = √250 = 15.81
したがって、底辺ABの長さは約15.81単位です。
3. 点P(t, t^2)の高さを求める
点P(t, t^2)から直線ABまでの垂直距離（高さ）を求めます。直線ABの方程式を求めるため、点Aと点Bを通る直線の傾きを計算します。
傾きm = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (16 – 1) / (4 – (-1)) = 15 / 5 = 3
したがって、直線ABの方程式は、点A(-1, 1)を通る直線なので。
y – 1 = 3(x + 1)
y = 3x + 4
次に、点P(t, t^2)からこの直線までの距離を求めます。点(x1, y1) = (t, t^2)と直線y = 3x + 4の距離は、距離公式により次のように求められます。
距離 = |3t – t^2 + 4| / √(3^2 + (-1)^2) = |3t – t^2 + 4| / √10
これが点P(t, t^2)の高さです。
4. 面積を最大化するためのtの値
面積は次のように表せます。
面積 = 1/2 × 底辺AB × 高さ = 1/2 × 15.81 × |3t – t^2 + 4| / √10
この面積を最大化するために、関数 f(t) = |3t – t^2 + 4| を最大化するtの値を求めます。最大値を求めるためには、この関数を微分してtを求めます。ここで微分の手法を使って、最適なtの値を計算することができます。
まとめ
三角形APBの面積の最大値を求めるためには、点P(t, t^2)から直線ABまでの高さを求め、底辺ABとの積を最大化するtを求めることが必要です。具体的な計算では、距離公式と微分を使って面積の最大値を求めることができます。このような数学的なアプローチを使うことで、高校一年生でも理解できる方法で問題を解くことができます。
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