大学数学でよく登場する積分の問題、特に部分分数分解を用いた計算方法について解説します。今回は2つの例題を用いて、具体的な手順を説明します。
1. 積分問題の設定
以下の2つの積分問題について、部分分数分解を用いて解いていきます。
- 問題1: ∫(1→2) (11x + 4) / ((x + 1)^2(x^2 – 2x + 4)) dx
- 問題2: ∫(x – 1) / (x^2 + 2x + 2)^3 dx
2. 部分分数分解の基本
部分分数分解とは、複雑な有理関数の積分を分解し、より簡単に計算できる形にする方法です。まずは、分母の因数分解が可能な場合に、それを行い、分数を分解します。
3. 問題1の解法
問題1では、(11x + 4) / ((x + 1)^2(x^2 – 2x + 4)) を部分分数分解します。最初に分母を因数分解し、各因数に対応する係数を求める必要があります。この場合、二次の項に対して、適切な分数形を設定し、定積分を求めます。
4. 問題2の解法
問題2では、分母が (x^2 + 2x + 2) の3乗であるため、適切な部分分数分解の方法が求められます。ここでは、分母の2次項に対して、適切な係数を用いて分解し、その後に積分を行います。
5. まとめとポイント
積分問題を解く際には、部分分数分解をしっかりと理解し、分母を因数分解することが重要です。また、適切な分数の分解とその後の積分の計算がカギとなります。問題を解く中で、分数の係数を求める練習を積むことで、より確実に積分問題に対応できるようになります。
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